Все знают обычное возведение в степень ещё со школы.
"Икс в квадрате" = x * x
"Икс в кубе" = x * x * x
Казалось бы, что здесь может быть сложного?
Вот и функцию "x в степени y" все воспринимают как данность.
На самом деле, как вы собрались вычислить x в степени 1,2345?
В очередной раз возводя какое-нибудь число в вещественную степень ленивым вызовом типа Math.power(x, y), задумывались ли вы, какой колоссальный пласт науки за этим стоит?
Допустим, для дробных чисел это возможно: та степень, что наверху - это просто число, умноженное на себя столько раз, а та степень, что внизу - это просто корень этой степени из получившегося числа.
Корень - это операция уже сама по себе нетривиальная.
Если умножать число само на себя - это одноклеточная операция (все знают таблицу умножения с детского сада), то брать корень из числа - это вам уже не так просто...
Поэтому раньше (в тёмные века) составляли толстенные книженции - так называемые "таблицы" - посвященные, скажем, взятию корней некоторых степеней из множества всевозможных чисел.
Допустим, у нас есть такая книга, и мы теперь можем возводить любые числа в дробные степени.
С любыми вещественными степенями можно выкрутиться, используя тот трюк, что любое вещественное число можно "зажать" между двумя сколь угодно близко расположенными дробными числами.
Но мы-то с вами живём в продвинутом XXI-ом веке, и давно уже придуманы взрослые методы вычисления любых степеней любых чисел.
Для начала рассмотрим выражение "a ^ x" (а в степени икс).
Для степеней есть тождество (легко доказуемое простым раскрытием степени): (a ^ x) ^ y = a ^ (xy)
Теперь, по определению "логарифма" (называемому также "основным логарифмическим тождеством") имеем: a ^ x = (b ^ log b (a) ) ^ x = b ^ (log b (a) * x)
Казалось бы, от чего ушли, к тому и пришли - к необходимости вычислить теперь уже "b ^ x".
Однако, здесь можно применить хитрость: поскольку b мы можем выбрать любым, то выберем его равным некоторому очень особенному числу e.
Число e мы определим как такое число, для которого производная функции "e в степени x" всегда равна самой себе:
А это значит, что используя разложение в "ряд Тейлора" (открытое ещё веке этак в XVII-ом), мы можем вычислить любую вещественную степень числа e:
Этот ряд "сходится", то есть каким бы большим ни было число x, в будущем найдётся такое n, начиная с которого каждый новый член ряда будет меньше предыдущего.
(например, при x = 10 пятый член ряда ещё велик и приближённо равен 10 ^ 5 / 120 ~= 10 ^ 3, но уже сотый член практически исчезающе мал: 10 ^ 100 / 100! ~= 10 ^ 100 / 10 ^ 158 ~= 10 ^ –58)
Поэтому, дойдя до нужного n, и получив таким образом достаточную точность, мы можем остановиться.
Отсюда, кстати, можно найти и само число e, положив x = 1 (и получить, что e = 2,7182818...).
Таким образом, получаем, что a ^ x = e ^ (ln a * x), и осталось вычислить "натуральный логарифм" числа a.
По определению "натурального логарифма":
Если теперь продифференцировать это уравнение, то можно найти, что производная ln(x) равняется 1/x.
И теперь уже можно найти натуральный логарифм любого вещественного числа, вычислив простейший интеграл (взяв площадь под кривой 1/x):
Эта задача называется "численным интегрированием", и способов численно вычислить интеграл придуман уже целый вагон, так что задача нахождения значения натурального логарифма решена.
Делить, умножать, складывать и вычитать наш вычислительный процессор уже умеет, поэтому задача решена, и вот только теперь, по прошествии множества веков, мы, наконец, можем найти любую вещественную степень любого вещественного числа.
Ощущаете в себе гордость за человечество?
* для вычисления "экспоненты" (e в степени x) на компьютере применяется очень остроумный трюк с разложением x в двоичной системе исчисления, после которого всё сводится к перемножению уже заранее известных табличных значений e ^ (±2 ^ ±k), где k изменяется от 0 до максимального количества двоичных разрядов в числах данного компьютера (для double это 48 для обычного компьютера)
"Икс в квадрате" = x * x
"Икс в кубе" = x * x * x
Казалось бы, что здесь может быть сложного?
Вот и функцию "x в степени y" все воспринимают как данность.
На самом деле, как вы собрались вычислить x в степени 1,2345?
В очередной раз возводя какое-нибудь число в вещественную степень ленивым вызовом типа Math.power(x, y), задумывались ли вы, какой колоссальный пласт науки за этим стоит?
Допустим, для дробных чисел это возможно: та степень, что наверху - это просто число, умноженное на себя столько раз, а та степень, что внизу - это просто корень этой степени из получившегося числа.
Корень - это операция уже сама по себе нетривиальная.
Если умножать число само на себя - это одноклеточная операция (все знают таблицу умножения с детского сада), то брать корень из числа - это вам уже не так просто...
Поэтому раньше (в тёмные века) составляли толстенные книженции - так называемые "таблицы" - посвященные, скажем, взятию корней некоторых степеней из множества всевозможных чисел.
Допустим, у нас есть такая книга, и мы теперь можем возводить любые числа в дробные степени.
С любыми вещественными степенями можно выкрутиться, используя тот трюк, что любое вещественное число можно "зажать" между двумя сколь угодно близко расположенными дробными числами.
Но мы-то с вами живём в продвинутом XXI-ом веке, и давно уже придуманы взрослые методы вычисления любых степеней любых чисел.
Для начала рассмотрим выражение "a ^ x" (а в степени икс).
Для степеней есть тождество (легко доказуемое простым раскрытием степени): (a ^ x) ^ y = a ^ (xy)
Теперь, по определению "логарифма" (называемому также "основным логарифмическим тождеством") имеем: a ^ x = (b ^ log b (a) ) ^ x = b ^ (log b (a) * x)
Казалось бы, от чего ушли, к тому и пришли - к необходимости вычислить теперь уже "b ^ x".
Однако, здесь можно применить хитрость: поскольку b мы можем выбрать любым, то выберем его равным некоторому очень особенному числу e.
Число e мы определим как такое число, для которого производная функции "e в степени x" всегда равна самой себе:
А это значит, что используя разложение в "ряд Тейлора" (открытое ещё веке этак в XVII-ом), мы можем вычислить любую вещественную степень числа e:
Этот ряд "сходится", то есть каким бы большим ни было число x, в будущем найдётся такое n, начиная с которого каждый новый член ряда будет меньше предыдущего.
(например, при x = 10 пятый член ряда ещё велик и приближённо равен 10 ^ 5 / 120 ~= 10 ^ 3, но уже сотый член практически исчезающе мал: 10 ^ 100 / 100! ~= 10 ^ 100 / 10 ^ 158 ~= 10 ^ –58)
Поэтому, дойдя до нужного n, и получив таким образом достаточную точность, мы можем остановиться.
Отсюда, кстати, можно найти и само число e, положив x = 1 (и получить, что e = 2,7182818...).
Таким образом, получаем, что a ^ x = e ^ (ln a * x), и осталось вычислить "натуральный логарифм" числа a.
По определению "натурального логарифма":
Если теперь продифференцировать это уравнение, то можно найти, что производная ln(x) равняется 1/x.
И теперь уже можно найти натуральный логарифм любого вещественного числа, вычислив простейший интеграл (взяв площадь под кривой 1/x):
Эта задача называется "численным интегрированием", и способов численно вычислить интеграл придуман уже целый вагон, так что задача нахождения значения натурального логарифма решена.
Делить, умножать, складывать и вычитать наш вычислительный процессор уже умеет, поэтому задача решена, и вот только теперь, по прошествии множества веков, мы, наконец, можем найти любую вещественную степень любого вещественного числа.
Ощущаете в себе гордость за человечество?
* для вычисления "экспоненты" (e в степени x) на компьютере применяется очень остроумный трюк с разложением x в двоичной системе исчисления, после которого всё сводится к перемножению уже заранее известных табличных значений e ^ (±2 ^ ±k), где k изменяется от 0 до максимального количества двоичных разрядов в числах данного компьютера (для double это 48 для обычного компьютера)
не по годам умён
ОтветитьУдалить